Un problema di teoria dei numeri elementare
January 2, 2014 | Author: Stefano Bonaccorsi | Category: Freebies
Dimostrate che per ogni intero non negativo m, il numero 9·2m è esprimibile come somma di tre quadrati (di interi positivi).
Il problema è stato proposto da Maurizio Codogno come uno dei Problemini di Natale 2013.
E' la versione italiana di un problema già proposto e risolto su math.stackexchange.com.
Però la soluzione non mi soddisfaceva e ve ne propongo una diversa.
Lo sviluppo binario del numero 9 è 1001 che divido come 10|01 e osservo essere formato da: un termine 10|.. = 23 = 2·22 = 22+22 e da un termine ..|01 = 20; moltiplicare per 2m significa aggiungere m cifre 0 alla fine del numero, che quindi assume la forma 10010...0; dividendo a blocchi di due cifre (eventualmente aggiungendo uno 0 in testa per eleganza grafica) si ottiene che il numero ha la forma 10|01|00|...|00 (se m è pari) oppure 01|00|10|00|...|00 (se m è dispari). In ogni caso, troviamo esattamente un blocco 10|... = 2·2n e esattamente un blocco 01|... = 2k. Quindi il numero 9·2m si esprime sempre come somma di tre quadrati (di potenze di 2).